Numerik

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Gliederung

1. Einführung in Matlab
2. Arbeiten mit Arrays
3. Funktionen und Kontrollstrukturen
4. Analysis
5. Lineare Algebra
6. Differentialgleichungen
7. Einführung in Simulink

Fahrplan: Einführung in Simulink

Einheit 1 – Simulink I
→ Was ist Simulink?
→ Vom Anfangswertproblem (AWP) zum Signalflussplan
→ Simulink-Blöcke, Subsysteme und Parameter

Einheit 2 – Heute
→ DGL 2. Ordnung → mehrere Integratoren
→ Gedämpfte und angeregte Schwingung (Resonanz)
→ Nichtlineare DGL, Solver-Einstellungen, To Workspace

DGL 2. Ordnung in Simulink

Federschwinger (2. Ordnung)

$$m\ddot{x} + kx = 0, \qquad x(0) = x_0,\; \dot{x}(0) = v_0$$

Auflösen nach der höchsten Ableitung, dann Substitution $y_1 := x,\; y_2 := \dot{x}$:

$$\dot{y}_1 = y_2, \qquad \dot{y}_2 = -\frac{k}{m}\,y_1$$

Euler-Schritt – zwei Akkumulationszeilen:

Zwei Akkumulationszeilen → zwei Integratoren.

Vom Euler-Schritt zum Signalflussplan

Jede Akkumulationszeile $u_{n+1} = u_n + \Delta t \cdot \dot{u}_n$ wird ein Integrator:

$$\xrightarrow{\;\ddot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;\dot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;x\;}$$

Die höchste Ableitung $\ddot{x} = -\dfrac{k}{m}\,x$ schließt die Rückkopplung:

$$\xrightarrow{\;\ddot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;\dot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;x\;} \boxed{\times(-k/m)} \xrightarrow{\;\ddot{x}\;} \;\;\circlearrowleft$$

Vorgehen: DGL $n$-ter Ordnung → Signalflussplan

✍️ Aufgabe: Federschwinger in Simulink

Implementieren Sie den harmonischen Oszillator $m\ddot{x} + kx = 0$ mit $m = 1$, $k = 1$, $x(0) = 1$, $\dot{x}(0) = 0$ in Simulink.

1. Signalflussplan aufzeichnen (zwei Integratoren, Gain-Block)
2. Modell in Simulink aufbauen
3. Anfangswerte an den Integratoren einstellen
4. $x(t)$ und $\dot{x}(t)$ mit Scope darstellen (Mux verwenden)
5. Ergebnis mit der analytischen Lösung $x(t) = \cos(t)$ vergleichen

Extraaufgabe: $k$ und $m$ als Workspace-Variablen definieren.

Gedämpfte und angeregte Schwingung

Gedämpfte Schwingung (2. Ordnung)

$$m\ddot{x} + d\,\dot{x} + k\,x = 0$$

Auflösen nach der höchsten Ableitung:

$$\ddot{x} = -\frac{d}{m}\,\dot{x} - \frac{k}{m}\,x$$

DGL 2. Ordnung → zwei Integratoren, aber jetzt zwei Signalpfade zurück:

$$\xrightarrow{\;\ddot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;\dot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;x\;}$$

Rückkopplung von $\dot{x}$ (über $-d/m$) und von $x$ (über $-k/m$) in den Summierer.

✍️ Aufgabe: Gedämpfte Schwingung mit Anregung

$$m\ddot{x} + d\,\dot{x} + k\,x = F_0\cos(\omega t)$$

$m = 1$, $d = 0{,}1$, $k = 1$, $F_0 = 1$, $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$.

1. Signalflussplan skizzieren (Sine Wave-Block für die Anregung)
2. Modell in Simulink aufbauen
3. Simulieren für $\omega = 0{,}5$ – wie sieht die Antwort aus?
4. $\omega$ auf die Eigenfrequenz $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 1$ ändern → Resonanz
5. Alle Parameter als Workspace-Variablen definieren

Nichtlineare DGL

Nichtlineare DGL: kein Problem für Simulink

Bei einer nichtlinearen DGL (z.B. $v^2$-Term) ändert sich am Signalflussplan nichts Grundsätzliches – nur ein zusätzlicher Block wird gebraucht:

Um $v^2$ zu berechnen: beide Eingänge des Product-Blocks an dasselbe Signal $v$ anschließen.

Analytisch unlösbar → numerisch trivial.

Beispiel: Bremsvorgang mit Luftwiderstand

Ein Flugzeug bremst nach der Landung. Die Geschwindigkeit $v(t)$ folgt aus:

$$\dot{v} = -c_1\,v - c_2\,v^2, \qquad v(0) = 300\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$$

$c_1 = 0{,}4\,\text{s}^{-1}$ (Reifenreibung), $c_2 = 0{,}004\,\text{m}^{-1}$ (Luftwiderstand)

Signalflussplan:

$$\Big[\text{Sum}\Big]\xrightarrow{\;\dot{v}\;}\boxed{\int dt}\xrightarrow{\;v\;}\;\circlearrowleft$$

Rückkopplung liefert $-c_1 v$ (Gain) und $-c_2 v^2$ (Gain + Product).

✍️ Aufgabe: Bremsvorgang in Simulink

Implementieren Sie das Bremsmodell $\dot{v} = -c_1 v - c_2 v^2$ in Simulink.

Variante A – nur Elementarblöcke (Sum, Gain, Product, Integrator, Scope):

• Welche Blöcke werden für $v^2$ benötigt?
• Anfangswert: $v_0 = 300/3{,}6\,\text{m/s}$

Variante B – Matlab Function Block:

• function v_dot = f(v) implementieren
• Wann wird das Flugzeug langsamer als $5\,\text{m/s}$?

Solver und Datenexport

Solver-Einstellungen

Modeling → Model Settings → Solver

Demonstration: Federschwinger mit ode1 und großer Schrittweite → Lösung divergiert.
Dasselbe Modell, kleinere Schrittweite → stabil.

To Workspace: Ergebnisse exportieren

To Workspace-Block schreibt ein Signal als Matlab-Variable in den Workspace.

% Nach der Simulation im Command Window:
plot(tout, yout)          % tout und yout automatisch angelegt (Out-Block)

Alternativ: Out-Block + Data Import/Export in den Model Settings
→ tout (Zeitvektor) und yout (Matrix, eine Spalte pro Ausgang) werden automatisch gespeichert.

So lassen sich Simulink-Ergebnisse direkt in Matlab weiterverarbeiten: FFT, Maxima suchen, mit Messdaten vergleichen.

✍️ Aufgabe: Ergebnisse exportieren und auswerten

Ergänzen Sie das Federschwinger-Modell:

1. To Workspace-Block hinzufügen (Signal $x(t)$, Variable x_sim)
2. Simulation ausführen
3. In Matlab: analytische Lösung $x_\text{ana}(t) = \cos(t)$ berechnen und zusammen mit x_sim plotten
4. Maximalen Fehler $\max|x_\text{sim} - x_\text{ana}|$ berechnen
5. Schrittweite halbieren – wie ändert sich der Fehler?